4.1.2.6 : Aire d'un triangle
la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire $S$ d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs $a$ , $b$ et $c$ de ses trois côtés : $$\begin{eqnarray*} {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\quad{\text{avec}}\quad p={\frac {a+b+c}{2}}\quad{\text{ le demi périmètre}}} \end{eqnarray*}$$ La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).En choisissant les noms de côtés de telle sorte que $a > b > c$ , et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, William Kahan propose une formule plus stable [206]Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle, 2014, Kahan, William : $$\begin{eqnarray*} {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)]\,[c-(a-b)]\,[c+(a-b)]\,[a+(b-c)]}}.} \end{eqnarray*}$$ Il donne également une formule stable pour le calcul du volume d'un tétraèdre reposant sur une factorisation non évidente [207]What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?, 2012, Kahan, William.
Si ces calculs peuvent paraître des cas d'école un peu fumeux, ils sont en fait seulement l'expression à petites dimensions ($n=2$ , $n=3$ ) de facteurs qui interviennent dans les calculs géométriques, notamment pour les espaces des phases relativistes, et sont en fait des déterminants, notoirement délicat à évaluer précisément si on procède naïvement. Ainsi si on étudie la production de bosons intermédiaires et d'électrons, leurs masses carrées sont dans un ratio de $10^{10}$ et certains facteurs cinématiques vont être analogues à la surface d'un triangle avec des côtés dans un tel ratio.